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@Fernando Hola Fer! Esperá, vamos a recapitular juntos qué nos pide el enunciado: Nosotros queremos probar que
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@Fernando Asi que $f(x) < 0$ se cumple para todo $x$ mayor a $0$, y, por lo tanto,
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Análisis Matemático 66
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GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
9.
Pruebe las siguientes desigualdades
a) $\sin x<x$ si $x>0$
a) $\sin x<x$ si $x>0$
Respuesta
Para probar esta desigualdad
Reportar problema
$\sin x<x$ si $x>0$
podemos plantear
$\sin(x) - x < 0$
definirnos la función $f(x) = \sin(x) - x$, hacer un estudio completo y ver que siempre es menor a $0$ para $x > 0$
1) Identificamos el dominio de $f(x)$
En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de $f$ es todo $\mathbb{R}$.
2) Asíntotas
- Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R}$, esta función no tiene asíntotas verticales.
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$\lim_{x \to +\infty} \sin(x) - x = -\infty$
$\lim_{x \to -\infty} \sin(x) - x= +\infty$
3) Calculamos $f'(x)$:$f'(x) = \cos(x) - 1 $
4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:
$\cos(x) - 1 = 0$
$\cos(x) = 1$
Bueno, tenemos infinitos puntos críticos, no? Así que se imaginarán que tenemos que pensar una manera más conveniente que ir evaluando el signo de $f'(x)$ en cada intervalo para ver si es positiva o negativa jeje...
Miremos con atención la expresión de $f'(x)$
$f'(x) = \cos(x) - 1 $
Sabemos que $\cos(x)$ oscila entre $-1$ y $1$. Por lo tanto, justo cuando $\cos(x) = 1$ $f$ va a valer cero y vamos a estar en un máximo o mínimo, pero para cualquier otro $x$, $\cos(x)$ nunca va a valer más que $1$. Entonces... ¿estás viendo que $f'(x)$ va a ser siempre negativa? Por lo tanto, $f$ es monótona decreciente.
El gráfico es una cosa así:
Mirando el gráfico, vemos que efectivamente se cumple que para todo $x > 0$, $\sin(x) - x < 0$. Y con esto probamos lo que nos pedía el enunciado :)
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Fernando
23 de mayo 9:59
Hola flor disculpa pero si hay una restriccion (x > 0) lo cual al verificar que ( sin(x) - x < 0) la funcion => sin(x) - x nos daria solo negativa ,tampoco nos daria f(x) = 0 ya que se respeta la restriccion (x > 0) ,al final hize el grafico en geogebra y me resulto asi .Osea que al final tiene 0 soluciones.
Flor
PROFE
23 de mayo 11:36
$\sin x<x$ si $x>0$
Entonces para eso, si despejamos, nos queda esto:
$\sin(x) - x < 0$
Ahí definimos la función $f(x) = \sin(x) - x$. Queremos ver que, para cualquier $x$ positivo, se cumple que
$f(x) < 0$
O sea, no importa el $x$ positivo que yo le meta, la función me va a devolver un valor negativo. Y eso es exactamente lo que está ocurriendo acá en nuestros gráficos.
Fijate que los dos son los mismos, sólo que yo lo puse completo (aunque sabiendo que sólo miramos los $x$ mayores a $0$) y vos lo pusiste ya con el dominio restringido. Pero en ambos vos chequeas que, para todo $x$ mayor a $0$, $f(x)$ es negativo. Y por como definimos $f$, si probamos eso, ya entonces quedó probado lo del enunciado.
Se entiende mejor?
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Flor
PROFE
23 de mayo 11:37
$\sin x<x$
también se cumple para todo $x>0$
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