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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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9. Pruebe las siguientes desigualdades
a) $\sin x<x$ si $x>0$

Respuesta

Para probar esta desigualdad

$\sin x<x$ si $x>0$

podemos plantear

$\sin(x) - x < 0$

definirnos la función $f(x) = \sin(x) - x$, hacer un estudio completo y ver que siempre es menor a $0$ para $x > 0$
1) Identificamos el dominio de $f(x)$ En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de $f$ es todo $\mathbb{R}$. 2) Asíntotas - Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R}$, esta función no tiene asíntotas verticales. - Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$\lim_{x \to +\infty} \sin(x) - x = -\infty$ 

$\lim_{x \to -\infty} \sin(x) - x= +\infty$  
3) Calculamos $f'(x)$:

$f'(x) = \cos(x) - 1 $ 4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:

$\cos(x) - 1 = 0$ 

$\cos(x) = 1$

Bueno, tenemos infinitos puntos críticos, no? Así que se imaginarán que tenemos que pensar una manera más conveniente que ir evaluando el signo de $f'(x)$ en cada intervalo para ver si es positiva o negativa jeje... 

Miremos con atención la expresión de $f'(x)$

$f'(x) = \cos(x) - 1 $

Sabemos que $\cos(x)$ oscila entre $-1$ y $1$. Por lo tanto, justo cuando $\cos(x) = 1$ $f$ va a valer cero y vamos a estar en un máximo o mínimo, pero para cualquier otro $x$, $\cos(x)$ nunca va a valer más que $1$. Entonces... ¿estás viendo que $f'(x)$ va a ser siempre negativa? Por lo tanto, $f$ es monótona decreciente. 

El gráfico es una cosa así:

2024-04-20%2010:38:31_5675939.png

Mirando el gráfico, vemos que efectivamente se cumple que para todo $x > 0$, $\sin(x) - x < 0$. Y con esto probamos lo que nos pedía el enunciado :)
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Avatar Fernando 23 de mayo 09:59
Hola flor disculpa pero si hay una restriccion (x > 0) lo cual al verificar que ( sin(x) - x < 0) la funcion => sin(x) - x nos daria solo negativa ,tampoco nos daria f(x) = 0 ya que se respeta la restriccion (x > 0) ,al final hize el grafico en geogebra y me resulto asi .Osea que al final tiene 0 soluciones.2024-05-23%2009:59:14_2563842.png
Avatar Flor Profesor 23 de mayo 11:36
@Fernando Hola Fer! Esperá, vamos a recapitular juntos qué nos pide el enunciado: Nosotros queremos probar que

$\sin x<x$ si $x>0$

Entonces para eso, si despejamos, nos queda esto:

$\sin(x) - x < 0$

Ahí definimos la función $f(x) = \sin(x) - x$. Queremos ver que, para cualquier $x$ positivo, se cumple que

$f(x) < 0$

O sea, no importa el $x$ positivo que yo le meta, la función me va a devolver un valor negativo. Y eso es exactamente lo que está ocurriendo acá en nuestros gráficos.

Fijate que los dos son los mismos, sólo que yo lo puse completo (aunque sabiendo que sólo miramos los $x$ mayores a $0$) y vos lo pusiste ya con el dominio restringido. Pero en ambos vos chequeas que, para todo $x$ mayor a $0$, $f(x)$ es negativo. Y por como definimos $f$, si probamos eso, ya entonces quedó probado lo del enunciado.

Se entiende mejor?
Avatar Flor Profesor 23 de mayo 11:37
@Fernando Asi que $f(x) < 0$ se cumple para todo $x$ mayor a $0$, y, por lo tanto,

$\sin x<x$ 

también se cumple para todo $x>0$
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